Inachimbua mzizi wa nambari changamano

Katika chapisho hili, tutaangalia jinsi unavyoweza kuchukua mzizi wa nambari changamano, na pia jinsi hii inaweza kusaidia katika kutatua milinganyo ya quadratic ambayo kibaguzi chake ni chini ya sifuri.

Inachimbua mzizi wa nambari changamano

Kipeo

Kama tunavyojua, haiwezekani kuchukua mzizi wa nambari hasi halisi. Lakini linapokuja suala la nambari ngumu, hatua hii inaweza kufanywa. Hebu tufikirie.

Wacha tuseme tunayo nambari z = -9. Kwa √-9 kuna mizizi miwili:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Wacha tuangalie matokeo yaliyopatikana kwa kutatua equation z² = -9, bila kusahau hilo i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Hivyo, tumethibitisha hilo -3i и 3i ni mizizi √-9.

Mzizi wa nambari hasi kawaida huandikwa kama hii:

√-1 = ± i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i nk

Mizizi kwa nguvu ya n

Tuseme tumepewa milinganyo ya fomu z = ⁿ√w… Imefanya n mizizi (z₀, au₁, au₂,…, z_n-1), ambayo inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula hapa chini:

|w| ni moduli ya nambari changamano w;

φ - hoja yake

k ni parameta ambayo inachukua maadili: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Milinganyo ya quadratic yenye mizizi tata

Kuchimba mzizi wa nambari hasi hubadilisha wazo la kawaida la uXNUMXbuXNUMXb. Ikiwa mbaguzi (D) ni chini ya sifuri, basi hakuwezi kuwa na mizizi halisi, lakini inaweza kuwakilishwa kama nambari changamano.

mfano

Wacha tusuluhishe equation x² - 8x + 20 = 0.

Suluhisho

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² - 4ac = 64 - 80 = -16

D <0, lakini bado tunaweza kuchukua mzizi wa ubaguzi mbaya:

√D = √-16 = ±4i

Sasa tunaweza kuhesabu mizizi:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Kwa hivyo, equation x² - 8x + 20 = 0 ina mizizi miwili changamano ya kuunganisha:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i