Kuinua nambari changamano hadi nguvu asilia

Katika chapisho hili, tutazingatia jinsi nambari changamano inaweza kupandishwa hadi mamlaka (ikiwa ni pamoja na kutumia fomula ya De Moivre). Nyenzo za kinadharia zinaambatana na mifano kwa ufahamu bora.

Kuinua nambari changamano hadi nguvu

Kwanza, kumbuka kuwa nambari changamano ina fomu ya jumla: z = a + bi (fomu ya algebraic).

Sasa tunaweza kuendelea moja kwa moja kwenye suluhisho la shida.

Nambari ya mraba

Tunaweza kuwakilisha shahada kama bidhaa ya mambo sawa, na kisha kupata bidhaa zao (huku tukikumbuka hilo i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Mfano 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Unaweza pia kutumia, ambayo ni mraba wa jumla:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Kumbuka: Kwa njia hiyo hiyo, ikiwa ni lazima, fomula za mraba wa tofauti, mchemraba wa jumla / tofauti, nk zinaweza kupatikana.

Shahada ya Nth

Ongeza nambari changamano z kwa aina n rahisi zaidi ikiwa inawakilishwa katika fomu ya trigonometric.

Kumbuka kwamba, kwa ujumla, nukuu ya nambari inaonekana kama hii: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Kwa ufafanuzi, unaweza kutumia Fomula ya De Moivre (aliyepewa jina hilo baada ya mwanahisabati Mwingereza Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Fomu hiyo inapatikana kwa kuandika kwa fomu ya trigonometric (modules zinazidishwa, na hoja zinaongezwa).

Mfano 2

Ongeza nambari changamano z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ dhambi 35°) hadi daraja la nane.

Suluhisho

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ dhambi(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).