Nadharia ndogo ya Fermat

Katika chapisho hili, tutazingatia mojawapo ya nadharia kuu katika nadharia ya nambari kamili -  Nadharia ndogo ya Fermatjina lake baada ya mwanahisabati Mfaransa Pierre de Fermat. Pia tutachambua mfano wa kutatua tatizo ili kuunganisha nyenzo zilizowasilishwa.

Taarifa ya theorem

1. Awali

If p ni nambari kuu a ni nambari kamili ambayo haiwezi kugawanywa kwa pbasi a^p-1 - 1 kugawanywa na p.

Imeandikwa rasmi kama hii: a^p-1 ≡ 1 (dhidi ya p).

Kumbuka: Nambari kuu ni nambari asilia ambayo inaweza kugawanywa tu na XNUMX na yenyewe bila salio.

Kwa mfano:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15
• idadi 15 kugawanywa na 5 bila salio.

2. Mbadala

If p ni nambari kuu, a nambari yoyote, basi a^p kulinganishwa na a moduli p.

a^p ≡ a (dhidi ya p)

Historia ya kupata ushahidi

Pierre de Fermat aliunda nadharia hiyo mnamo 1640, lakini hakuthibitisha mwenyewe. Baadaye, hii ilifanywa na Gottfried Wilhelm Leibniz, mwanafalsafa wa Ujerumani, mwanamantiki, mwanahisabati, n.k. Inaaminika kwamba tayari alikuwa na uthibitisho huo kufikia 1683, ingawa haukuchapishwa. Ni muhimu kukumbuka kuwa Leibniz aligundua nadharia mwenyewe, bila kujua kwamba ilikuwa tayari imeundwa mapema.

Uthibitisho wa kwanza wa nadharia hiyo ilichapishwa mnamo 1736, na ni ya Uswizi, Mjerumani na mwanahisabati na fundi, Leonhard Euler. Nadharia Ndogo ya Fermat ni kisa maalum cha nadharia ya Euler.

Mfano wa tatizo

Tafuta nambari iliyobaki 2¹² on 12.

Suluhisho

Hebu fikiria nambari 2¹² as 2-2¹¹.

11 ni nambari kuu, kwa hivyo, kwa nadharia ndogo ya Fermat tunapata:

2¹¹ ≡ 2 (dhidi ya 11).

Kwa hivyo, 2-2¹¹ ≡ 4 (dhidi ya 11).

Kwa hivyo nambari 2¹² kugawanywa na 12 na salio sawa na 4.